抽签相互送礼物很神秘，可抽到自己的怎么办？

中学的时候，老师组织过一次别开生面的 " 礼物交换 "：每个人把自己的名字写在纸条上，然后把纸条放在一起，让大家各抽一张。每人要给自己抽到的那个人写一张新年卡片，或者准备一个小礼品。

那时候我就在想：我会抽到自己吗？要是有人抽到了自己，岂不是很尴尬？

这样的可能性当然是存在的。而这个游戏稍作变化，就会变成日剧《轮到你了》中出现的一个关键情节—— 13 名公寓楼住户在参加住户大会时，所有人在一张纸条上写下自己最希望杀死的人的名字（写谁都可以，不限于现场的人），之后进行抽签，相当于 " 交换杀人 "。但没有想到的是，之后纸条上写的人真的开始一个接一个地死去，事件开始向不可控制的方向发展……

众人抽签 | 《轮到你了》

这里有一个问题就是，所有人写纸条并抽签时，有多大的可能性没有人会抽到自己写的纸条呢？

在第 7 集中，202 住户、数学专业学生黑岛沙和（西野七濑饰）就对这个问题进行了计算，并得出了正确答案。

数学专业学生黑岛沙和 | 《轮到你了》

" 没有人抽到自己纸条 " 的概率约为 36.7%，既至少一个人抽到自己纸条的可能性是 63.3%。

黑岛计算结果 | 《轮到你了》

那这个结果是怎么算出来的呢？

我们来考虑一下，参加人数为不同的数目时，" 没有人抽到自己纸条 " 这种情况，可能会出现多少种不同的排列方式。

如果参加游戏的只有 1 个人

如果参加游戏的只有一个人，那么 ta 必定会抽到自己的纸条。" 没有人抽到自己纸条 " 的情况数是 0。

如果参加游戏的有 2 个人

假设这两个人是 a 和 b，那么 " 没有人抽到自己纸条 " 的情况数是 1，a 抽到 b 写的纸条，b 抽到 a 写的纸条。

如果参加游戏的有 3 个人

参加游戏的 a，b 和 c 这 3 个人，" 没有人抽到自己纸条 " 的情况数是 2，其中，

i. a 抽到 b 写的纸条（这时还剩下 a 写的纸条，和 c 写的纸条），b 抽到 c 写的纸条，c 抽到 a 写的纸条，这是第一种情况。

ii. a 抽到 c 写的纸条（这时还剩下 a 写的纸条，和 b 写的纸条），b 抽到 a 写的纸条，c 抽到 b 写的纸条，这是第二种情况。

因为考虑的情况是 " 没有人抽到自己纸条 "，能够看出，这就是全部的可能情况了。

《轮到你了》剧照

如果参加游戏的有 4 个人

要像刚才那么数，就有点复杂了。

先明确条件，A，B，C，D 四个人，每个人都不能抽到自己写的纸条。比如 B 不能抽到自己写的条，允许抽到 A、C、D 写的条。

这时，我们可以改换一下思路。由于 A 不能抽到自己写的纸条，先假设 A 拿到了 B 的纸条。这时候，我们的问题实际上转化为了两种情况：

情况一：

BCD 三个人，来抽 A 写的纸条 ( 记为 a ) 、C 写的纸条 c、D 写的纸条 d 这 3 张纸条，抽的时候都没有抽到对应的纸条；BCD 三个人抽 acd 三张纸条，其实跟 BCD 三个人抽 bcd 三张纸条是一个意思。只不过，原来我们规定的是，B 不能抽到 b 纸条，而现在我们把这个规定改为了，B 不能抽到 a 纸条 .

情况二：

B 当然是可以抽到 a 纸条的，这种情况要单独计算，这时 B 抽到了 a 纸条，CD 两个人抽纸条，没有抽到自己。

仔细想想，这不就是 "3 个人抽签没有抽到自己 "+"2 个人抽签没有抽到自己 "？这两者我们前面都算过了，加起来，这就是 "A 拿到了 B 的纸条 " 这种情况下的全部可能情况数。然后把前置条件 "A 拿到了 B 的纸条 " 再推及到别的情况，一共有三种（A 拿到了 B、C、D 的纸条）。

于是，4 个人的游戏中，" 没有人抽到自己纸条 " 的情况数，就是 3* ( 2+1 ) =9。

以此类推，若参加游戏的是 5 个人，" 没有人抽到自己纸条 " 的情况数是 4* ( 9+2 ) =44，6 个人，则是 5* ( 44+9 ) =265，7 个人是 6* ( 265+44 ) =1854。

现在我们来计算一下概率。7 张纸条随意排列，排列情况总数是 7！共 5040 种。而 1854/5040=0.367857 ……

这个数字，已经很贴近剧中数学系住户算出来的数字了。而当 n 继续增大时，这个概率数字会快速收敛到 1/e = 0.367879 ……（e 为自然对数的底）。

装错信封问题

这种排列，数学上叫做 " 全错位排列 "。或许你也发现了，我们刚刚其实是使用了递推的方式，把全错位排列可能数目记为 Dn，推导出了 Dn= ( Dn-1 + Dn-2 ) * ( n-1 ) 。

实际上，这个问题属于组合数论的范畴，又称为 " 装错信封问题 "。" 装错信封问题 " 是由瑞士数学家约翰 · 伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）的儿子丹尼尔 · 伯努利（DanidBernoulli，1700－1782）提出来的，瑞士数学家欧拉（Euler）等也研究过这个问题。大意为：

n 封不同的信及相应的 n 个不同的信封，把这 n 封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？

可以看出，这个描述中蕴含的数学问题，其实跟写字条后抽签是一样的，也可以用多种不同的方法来描述。比如我把 n 张扑克牌打乱，然后发牌，如果出现发牌次序数 = 牌面数字的情况，我就赢了，比如发第 3 张牌时，牌面是 3，那么我有多大可能赢？

这个概率，你现在知道了——如果牌足够多，那可以说这个概率约等于 1-0.367 ，即 0.633，且会向 1-1/e 无限靠近。

还可以再换个说法，这个描述等价于：

把数字 1 ~ n 放入序号 1 ~ n 的格子中，数字 1 不能放入序号 1 的格子，数字 2 不能放入序号 2 的格子……数字 n 不能放入序号 n 的格子。

一下就想起中学时的组合数学题了是不是。

推导开始

好了！以下是数学学霸专用高能时间，请准备好之后再打开。

别怕，其实运算只有加减乘除和阶乘，往下看就知道了！

剧中，202 室住户、数学系学生黑岛沙和写的公式，正是全错位排列的排列数目的计算公式。

黑岛沙和的公式 |《轮到你了》

排列数目 = n! * ( 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5! + ... + ( -1 ) n *1/n! )

由于 n 个纸条随机排列，分给 n 个人的总的排列可能数目是 n!。

全错位排列数目 / 总的可能排列数目，就是全错位排列的概率，也就是：

( 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5! + ... + ( -1 ) n *1/n! )

实际上，这正是 1/e 的麦克劳林展开式（泰勒展开式的一种特殊形式），当 n 增大时，这个数字会迅速收敛到 1/e。

作者供图

这也就是剧中黑岛沙和写的这个公式了，剧中参与游戏的有 13 个人，n 为 13。

n! * ( 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5! + ... + ( -1 ) n *1/n! ) ，这个全错位排列的出现数目的公式，可以有多种证明。把全错位排列可能数目记为 Dn，我们上面已经使用递推的证明方法，证明了 Dn= ( Dn-1 + Dn-2 ) * ( n-1 ) 。这时，其实证明已经大体完成了。

有了 Dn= ( n-1 ) ( Dn-1 + Dn-2 ) ，就可以比较容易地推出 Bernoulli-Euler 装错信封问题的通项公式：